Chí ít đó là điều đến với Phạm Tuấn Huy (ĐH Stanford) trước khi anh bảo vệ luận án tiến sĩ: chứng minh giả thuyết Kahn – Kalai, một bài toán cơ bản của lý thuyết đồ thị ngẫu nhiên và nhận được tài trợ cho nghiên cứu của Viện Toán học Clay.
Vào tháng 4/2022, cái tên Phạm Tuấn Huy, một nghiên cứu sinh ở ĐH Stanford, bỗng trở nên quen thuộc với những người trong giới toán học. Đó là vì anh và Jinyoung Park, một trợ lý giáo sư Szegö của ĐH Stanford, đã chứng minh được giả thuyết Kahn-Kalai (hay còn được gọi là giả thuyết ngưỡng kỳ vọng), một bài toán quan trọng trong toán tổ hợp xác xuất có từ năm 2006 về định xứ của các chuyển pha.
Với bài báo dài sáu trang đẹp đẽ và súc tích, Phạm Tuấn Huy và Jinyoung Park đã vượt qua những biên giới tưởng chừng không thể để giải bài toán tồn tại hơn 15 năm. Khi biết tin anh và Jinyoung Park giải được bài toán của mình, giáo sư Gil Kalai phải thốt lên trên blog của mình “Bằng chứng thật tuyệt vời!”. Sau đó, ông trả lời Quanta magazine: “Thật vô cùng đơn giản và khéo léo. Thật ngạc nhiên. Thật tuyệt vời!”. Ngay cả người thầy của họ, giáo sư Jacob Fox - một nhà toán học chuyên về toán tổ hợp kiểu Hungary, đặc biệt là lý thuyết Ramsey, lý thuyết đồ thị cực trị, lý thuyết số tổ hợp và các phương pháp xác suất trong toán tổ hợp – cũng tưởng chừng không tin nổi kết quả này “Tôi chỉ có thể nói là bằng chứng mà các bạn ấy đưa ra thật kỳ diệu. Nó sẽ trở thành một vấn đề quan trọng trong lĩnh vực này trong tương lai”.
Chứng minh giả thuyết Kahn - Kalai khi chưa nhận bằng tiến sĩ
Không phải đơn giản mà Phạm Tuấn Huy và nhà toán học người Hàn Quốc này lại có thể tìm ra đáp án. Để hiểu được con đường đưa anh đến với giả thuyết Kahn-Kalai, có lẽ người ta phải bắt đầu từ khởi điểm nhà nghiên cứu trẻ lựa chọn hướng đi, nơi nằm ở giao điểm của tổ hợp, lý thuyết xác suất và khoa học máy tính. “Điểm cốt lõi trong nghiên cứu của tôi nằm ở việc nghiên cứu sự ngẫu nhiên và các vấn đề ngẫu nhiên, sử dụng chúng để hiểu về các cấu trúc rời rạc xuất hiện trong toán học và khoa học máy tính. Theo một hướng thì tôi nghiên cứu cấu trúc tiệm cận và quan tâm đến các thuộc tính của các vật thể và các hệ ngẫu nhiên lớn như các mạng lưới ngẫu nhiên, các thuật toán ngẫu nhiên hóa hoặc các mạng thần kinh khởi tạo ngẫu nhiên. Còn theo hướng khác, tôi sử dụng tính ngẫu nhiên để nghiên cứu về các mạng lưới tất định lớn hoặc các cấu trúc số học thông qua các thành phần giống ngẫu nhiên của chúng”, anh nói.
Có lẽ, điều thu hút Phạm Tuấn Huy trong nghiên cứu là “các cấu trúc đẹp tiết lộ bản thân mình trong sự ngẫu nhiên. Cuộc kiếm tìm những cấu trúc đó luôn luôn chứa đầy những ngạc nhiên và một khi tìm ra một phương pháp hoặc nguyên tắc để trích xuất và kiểm soát các cấu trúc đó thì người ta có thể có hy vọng ứng dụng những hiểu biết mới vào nhiều trường hợp khác nhau hoặc những ứng dụng ở nơi sự ngẫu nhiên phù hợp. Ngẫu nhiên là một công cụ hữu hiệu với vô số những ứng dụng hết sức bất ngờ”.
Nhưng nói như Maryam Mirzakhani, nhà toán học nữ đầu tiên giành giải Field “Vẻ đẹp của toán học chỉ phô ra với những người đủ kiên nhẫn theo đuổi nó”. Đó cũng là điều Phạm Tuấn Huy học được khi đối mặt các bài toán khó nhưng cũng đầy hấp dẫn như giả thuyết Kahn-Kalai. “Với một thuộc tính đáng quan tâm của một mạng cho trước thì cái gì là ngưỡng mật độ mà tại đó một mạng ngẫu nhiên thỏa mãn thuộc tính ấy?”, Phạm Tuấn Huy tự đặt câu hỏi. “Đó là một trong những câu hỏi cơ bản trong lý thuyết đồ thị ngẫu nhiên và thậm chí câu trả lời cho các ví dụ cụ thể của các thuộc tính mạng cũng dẫn đến vô số công trình đột phá”.
Điểm thu hút của giả thuyết này lại nằm ở vẻ đẹp khác thường của nó: đề xuất một nguyên tắc chung và tổng quát đằng sau ngưỡng nhưng nguyên tắc này cũng có hiệu lực đối với những trường hợp cụ thể. Không ít nhà toán học muốn chạm đến cái đẹp này nhưng chưa thể giải quyết trọn vẹn. Giả thuyết Kahn-Kalai nhiều thách thức bởi điểm xuất phát không rõ ràng của nó, Phạm Tuấn Huy nói. Vào năm 2019, Jinyoung Park - khi đó là nghiên cứu sinh của giáo sư Kahn, đã cùng với ông và một số đồng nghiệp khác đã tạo ra một đột phá về bài toán hoa hướng dương, một phiên bản khác của giả thuyết này.
Mặc dù bị thu hút bởi giả thuyết Kahn-Kalai nhưng chưa bao giờ Phạm Tuấn Huy và Jinyoung Park đặt mục tiêu phải cố giải nó. Thay vào đó, họ bắt đầu nghiên cứu ở những giả thuyết khác của giáo sư Talagrand về các quá trình chọn lọc ngẫu nhiên, vốn cũng có một phiên bản “yếu” và một phiên bản đầy đủ. Phải qua nhiều tháng với những bước chậm chạp và cả nhiều thất bại, họ mới chứng minh được giả thuyết này. Và kỳ lạ thay, điểm thành công này đã làm nảy sinh một số ý tưởng khởi điểm cho giả thuyết Kahn-Kalai.
Trong khi nghiên cứu về bằng chứng cho phiên bản phân số của giả thuyết Talagrand, một ý tưởng vụt đến với Phạm Tuấn Huy, đó là “mảnh tối thiểu” và cách sử dụng nó để tinh chỉnh các kỹ thuật trước đó. “Trong suốt chuyến đi chơi ở Berkeley với một người bạn, tôi suy nghĩ về ý tưởng này và muốn xem là liệu nó có hữu dụng với một số vấn đề khác không. Trong khi đang ăn tối, tôi chợt nảy ra Ià ý tưởng và việc dùng nó mà không giới hạn ở phiên bản phân số”, anh kể. Ý tưởng mới cuốn hút đến mức anh thức trắng đêm để chứng minh phiên bản tích phân đầy đủ. Niềm say mê đã đem lại “hàm thưởng” cho anh: khi ngày mới đến thì cũng là lúc anh tìm được cách chứng minh cả giả thuyết Kahn-Kalai và phiên bản tích phân đầy đủ của giả thuyết Talagrand.
Ở góc nhìn của người đã vượt qua chướng ngại, mọi chuyện đã trở thành đơn giản. Phạm Tuấn Huy cho rằng, giả thuyết Kahn-Kalai có thể được diễn tả dễ hiểu: một tập hợp các mạng con đẹp (theo nghĩa không có quá nhiều phần nhỏ trong không gian nơi chúng tồn tại), sau đó có một mạng ngẫu nhiên có thể chứa một mạng thành phần từ mạng con đó. “Các mảnh tối thiểu mã hóa phần cấu trúc của từng mạng thành phần trong tập hợp mạng con dựa trên tương tác với mạng ngẫu nhiên, từ đó mỗi mạng có thể liên kết với thuộc tính đẹp đẽ của tập hợp mạng con để chặn mạng ngẫu nhiên. Với ý tưởng này, không khó để chứng minh được giả thuyết; bằng chứng đúc rút lại hết sức ngắn và không cần đến bất cứ công cụ phức tạp nào”, Phạm Tuấn Huy kể lại.
Ý nghĩ mình có thể chứng minh được giả thuyết Kahn-Kalai khiến anh cảm thấy hạnh phúc nhưng sự thận trọng của người làm nghiên cứu nghiêm túc buộc anh kiểm tra lại bằng chứng, trao đổi với giáo sư Fox và Jinyoung Park. Ai cũng cảm thấy bị kích thích bởi không thể tin được là bài toán phức tạp lại có thể được giải quyết bằng bằng chứng đơn giản và thanh nhã như vậy. Anh nói “Dù hiếm khi xảy ra nhưng đó là trải nghiệm hữu ích khi thấy cách tất cả các phần của bài toán tập hợp lại từ việc suy nghĩ về những câu hỏi khác biệt để xếp chúng lại với nhau rồi phác thảo ra con đường hướng tới ý tưởng đúng”.
Niềm tin đi đúng đường
Việc lựa chọn con đường làm toán của Phạm Tuấn Huy dường như là điều tất nhiên: theo học chuyên toán ở trường phổ thông Năng khiếu (ĐH Quốc gia TP.HCM) dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Nam Dũng; tham gia đội tuyển Việt Nam ở hai kỳ Olympic toán học và giành liên tiếp huy chương vàng ở hai năm 2013 và 2014. Trong lịch sử tham dự của Việt Nam, đến nay mới có tám thành viên giành hai huy chương vàng liên tiếp, mở màn là Ngô Bảo Châu vào năm 1988 và 1989. Tuy vậy, nếu đặt trong bối cảnh hiện tại, khi các bạn trẻ chủ yếu nộp hồ sơ vào các ngành kinh tế, tài chính, ngân hàng và bỏ qua các ngành khoa học cơ bản như toán học, vật lý, hóa học… thì có lẽ, sự lựa chọn ấy thực sự đáng trân quý.
Làm khoa học một cách nghiêm túc và say mê có bao giờ dễ dàng. Dù mới ở giai đoạn đầu sự nghiệp, Phạm Tuấn Huy đã cảm nhận rõ ràng điều đó “Học ở bậc tiến sĩ tất nhiên đã là một cam kết bền chặt với toán, và trong cuộc hành trình này của mình, dĩ nhiên nhiều lần tôi đã cảm thấy sự mất mát và thất bại”. Nhưng có lẽ, việc học hỏi những người thầy và đồng nghiệp của mình đã đem lại cho anh sức mạnh. “Khi chị Jinyoung Park đến Stanford, chúng tôi đã ngay lập tức có sự kết nối. Tôi biết được con đường đến với toán học của chị khi là một giáo viên toán trung học cơ sở và một người mẹ trẻ từ Hàn Quốc. Điều đó truyền cảm hứng và cộng hưởng với trải nghiệm của tôi. Tôi đến từ Việt Nam, một quốc gia nhỏ đang phát triển, nên cũng thật khó khăn để theo đuổi toán học một cách nghiêm túc tại Stanford…”.
Thành công của Phạm Tuấn Huy và cộng sự trong chứng minh giả thuyết Kahn-Kalai và giả thuyết Talagrand đã đem lại cho anh nhiều khích lệ. “Giáo sư Talagrand đã trao cho chúng tôi hướng dẫn trọng yếu. Ông ấy vui khi thấy lời giải cho giả thuyết của mình và chỉ ra cho chúng tôi vô số định hướng quan trọng và câu hỏi đẹp đẽ để giúp nghiên cứu có thể đi xa hơn”.
Việc suy nghĩ một cách thấu đáo về công việc của mình khiến Phạm Tuấn Huy thấy rằng, có được lời giải cho các giả thuyết không phải là điều cuối cùng mà chính là cánh cửa mở ra những hướng mới và bài toán mới mà có lẽ anh vừa tiến lại gần. “Hiện tại chúng tôi có một nguyên tắc để ước tính ngưỡng và có thể bắt đầu đặt câu hỏi về các ước tính chính xác hơn và các khía cạnh tinh tế hơn của hiện tượng này. Tôi nghĩ sự đơn giản và tinh tế của bằng chứng cho giả thuyết cho thấy chúng tôi có thể hoàn toàn hy vọng vào việc đến điểm có thể hiểu đúng và bắt đầu có nghiên cứu, phát triển xa hơn”, anh nói.
Với niềm tin của người đi đúng con đường mình say mê, Phạm Tuấn Huy trước mắt có cả năm năm làm việc ở Viện Toán học Clay. Khoản tài trợ mà Viện Toán học Clay trao cho nhà toán học trẻ thật đúng thời điểm. Giờ là lúc anh có thể “cùng với giáo sư Fox và các đồng nghiệp nghiên cứu về những giả thuyết khác tồn tại từ lâu trong lĩnh vực xác xuất và tổ hợp cộng cũng như nghiên cứu về những cấu trúc rời rạc thông qua lăng kính ngẫu nhiên. Ai mà biết được kết nối đáng ngạc nhiên tiếp theo sẽ ẩn giấu ở nơi nào?”.
Viện Toán học Clay từ lâu đã được biết tới như một cơ sở nghiên cứu tư nhân dành cho toán học với rất nhiều hoạt động và hạng mục giải thưởng khác nhau.
Nổi bật nhất trong số này là bảy bài toán Thiên niên kỷ được treo giải một triệu USD: giả thuyết Birch & Swinnerton-Dyer, giả thuyết Hodge, bài toán Navier–Stokes, bài toán P với NP, giả thuyết Riemann, bài toán khoảng trống khối lượng và tồn tại Yang–Mills và giả thuyết Poincaré (hiện mới có Grigori Perelman giải được bài Poincaré).
Một hạng mục giải thưởng quan trọng khác là giải thưởng Clay được trao hằng năm để ghi nhận những thành tích đột phá trong nghiên cứu toán học. Trong số những người xuất sắc đoạt giải có giáo sư Ngô Bảo Châu – vào năm 2004.
Ngoài ra, Viện Clay còn có nhiều hoạt động khác như tài trợ nghiên cứu trong vòng hai đến năm năm, hướng đến các nhà toán học trẻ (tài trợ của Phạm Tuấn Huy thuộc dạng này); các chương trình tài trợ ngắn hạn cho các học giả, nghiên cứu cá nhân, viết sách… |