Peter Scholze: Người sáng tạo cấu trúc không gian perfectoid spaces cho ngành Hình – Số học

Thông thường thì tên của người được chọn tặng Huy chương Fields cao quý được giữ kín đối với công chúng cho tới giờ chót. Trường hợp Peter Scholze thì khác. Tin nhà Toán học trẻ tuổi này sẽ được trao tặng Huy chương Fields loan ra ở khắp mọi nơi, trong giảng đường đại học, trên mạng Internet, thậm chí ngay trong những chốn trang nghiêm như các hội đoàn khoa học, trước khi Đại Hội diễn ra, không phải một vài tháng mà là một vài năm. Và tin đồn ấy là sự thật: Peter Scholze, 30 tuổi, thuộc trường Đại học Bonn, Đức, là nhà Toán học trẻ nhất¹ trong số bốn nhà Toán học được nhận Huy chương Fields 2018.

Trích lời khen chính thức của Đại Hội Các Nhà Toán học Thế Giới – ICM (Đại hội):

Micheal Rapoport, giáo sư hướng dẫn nghiên cứu sinh tiến sĩ của Scholze tại Đại học Bonn, người đọc diễn văn chính thức giới thiệu Scholze trước Đại Hội, thì nói rằng: “Những lý thuyết và khái niệm của Scholze đưa vào đã làm thay đổi thực sự bộ mặt của ngành Hình-Số học. Tôi tin rằng đây chỉ là bước đầu của Scholze, anh ấy sẽ còn có nhiều đóng góp mới khác mà chúng ta không thể dự đoán được.”

Câu chuyện trước đó có khởi nguồn từ những vấn đề đặt ra trong cuốn sách The Geometry and Cohomology of Some Simple Shimura Varieties của hai nhà Toán học nổi tiếng là Michael Harris và Richard Taylor² dày 288 trang, nhằm mục đích là chứng minh một vấn đề hóc búa của Lý thuyết số, xuất bản năm 2001. Sách được giới Toán học đánh giá rất cao từ sau khi ra đời. Bỗng nhiên, vào năm 2010, có một thông tin loan truyền trong giới Toán học trên thế giới, làm cho mọi người giật mình, nhất là các nhà Lý thuyết số: Có một sinh viên Cao học đã viết lại chứng minh 280 trang của Harris và Taylor rút xuống còn 37 trang. Chàng sinh viên ấy mới hơn 22 tuổi thuộc trường Đại học Bonn tên là Peter Scholze. Jared Weinstein, giáo sư Lý thuyết số và Hình-Đại số tại trường Đại học Boston kêu lên: “Thật không tưởng tượng được, một người trẻ như vậy có thể làm được một việc kinh khủng như vậy! Anh ta có thể nhìn thấy cách khai triển một lý thuyết ngay từ khi nó mới bắt đầu.”

Hai năm sau, năm 2012, sau khi có bằng Tiến sĩ, trường Đại học Bonn phong Giáo sư thực thụ cho Scholze, một giáo sư thực thụ trẻ nhất trong lịch sử của trường này.

Còn năm nay, lời biểu dương chính thức của Đại hội về Scholze còn có câu: “Peter Scholze đã là nhà Toán học có ảnh hưởng nhất trên toàn thế giới. Đó là một tài năng mà trong nhiều thập niên chúng ta mới thấy có một.”

Scholze bắt đầu tự học Toán trình độ đại học năm 14 tuổi, khi đang còn ngồi ghế trường trung học Heinrich Hertz Gymnasium, một trường trung học chuyên Toán và khoa học ở Berlin.

Năm 16 tuổi, Scholze biết rằng 10 năm trước Andrew Wiles đã chứng minh được định lý cuối cùng của Fermat, một định lý có từ thế kỷ 17 chưa ai chứng minh được. Định lý nói rằng phương trình xⁿ + yⁿ = zⁿ không có nghiệm nguyên khi số nguyên n lớn hơn 2. Định lý có vẻ đơn giản, nhưng khi đọc chứng minh của Wiles, Scholze nói: “Tôi chẳng hiểu gì cả bởi vì Wiles sử dụng những công cụ Toán học quá hiện đại.” Scholze bắt đầu làm ngược. Chỗ nào không hiểu, tìm học ngay cái lý thuyết ấy. “Tôi thậm chí không học cả Đại số tuyến tính nữa. Tôi sẽ hiểu nó thông qua việc học cái mới,” Scholze nói.

Trong khi đào bới chứng minh của Wiles, anh bị hấp dẫn bởi những dạng Toán học mới, chẳng hạn như dạng modula và đường cong elliptic, chúng kết nối huyền diệu những ngành Toán học khác nhau và rất xa nhau: Lý thuyết số, Đại số, Hình học và Giải tích. Scholze nói: “Đọc và học những cái mới này thú vị hơn là cả bài chứng minh định lý Fermat của Wiles.”

Hết Trung học, Scholze tiếp tục theo đuổi học Lý thuyết số và Hình học ở Đại học Bonn theo cách riêng của mình. Eugen Hellmann, bạn học và sau này là đồng nghiệp của Scholze tại Đại học Bonn, kể lại rằng ở lớp Scholze không ghi chép gì cả, chỉ lắng nghe, nhưng hiểu vấn đề thật sâu cho nên không bao giờ quên.

Cuộc cách mạng trong ngành Đại số và ngành Hình-Số học bắt đầu từ một cuộc hội thảo vào năm 2011, khi Peter Scholze giới thiệu và mô tả khái niệm về một cấu trúc không gian mà anh đặt tên là perfectoid spaces. Khi ấy Scholze vẫn còn là nghiên cứu sinh tiến sĩ. Khái niệm này nhanh chóng được các nhà Toán học cùng ngành trên toàn thế giới quan tâm và nghiên cứu. Nó rọi ánh sáng vào nhiều vấn đề toán học cả chục năm nay bị bế tắc. Chúng ta sẽ không tìm hiểu định nghĩa hoặc phân tích sâu về vấn đề này ở đây vì nó đòi hỏi nhiều ý tưởng mới và nhiều kỹ thuật phức tạp. Để có thể hiểu một cách căn bản nhất khái niệm phức tạp này, ta mượn ý tưởng của Kevin Buzzard, giáo sư toán tại Imperial College London, ông giải thích như sau: “Một kỹ thuật mà các nhà Hình học hay làm khi nghiên cứu những không gian phức tạp là tìm một không gian đơn giản hơn rồi thiết lập một toàn ánh (surjective map) từ không gian đơn giản lên không gian phức tạp kia. Thí dụ vòng tròn thì đơn giản hơn hình xoắn lò xo (a spring). Ta có thể nén lò xo lại (phép chiếu) để biến nó thành vòng tròn. Các nhà Toán học có thể phân tích vấn đề trên vòng tròn, rồi từ đó có thể tìm ra cách giải quyết vấn đề trên đường lò xo xoắn”.

Từ thập niên 1970, các nhà Toán học quan tâm rất nhiều đến những vấn đề liên quan đến tập hợp các số p-adic (p là số nguyên tố). Đây là hệ thống số tạo ra để lấp đầy khoảng trống giữa số nguyên và số hữu tỷ (mà không phải là số vô tỷ). Và họ còn nhiều vấn đề với cấu trúc này. Scholze đã tạo được một không gian perfectoid space từ các cấu trúc ấy, giúp giải quyết được nhiều bế tắc của các nhà Toán học nói trên.

Một thành tựu nổi bật khác của Scholze có liên quan đến tính đối đồng điều của những không gian đối xứng địa phương (the cohomology of locally symmetric spaces). Một lần nữa, ở đây người ta thấy rõ tính hữu hiệu của không gian perfectoid space mà Scholze đã sáng tạo. Một trong những định lý rất sâu và gây nhiều ấn tượng của Scholze trong nghiên cứu là anh đã chứng minh được tồn tại những biểu diễn Galois gắn liền với tính đối đồng điều của những không gian đối xứng địa phương. Điều đáng chú ý là Scholze đã xử lý các lớp xoắn (torsion classes) và từ đó có được những lớp đối đồng điều cổ điển (classical cohomology classes).

Kết quả này cho thấy ý tưởng rất tiên phong và rất rộng của chương trình Langlands. Đó là một mạng lưới vươn rất sâu và rất xa, bao gồm nhiều dự đoán, hướng dẫn cho nhiều nghiên cứu Toán học ngày nay.

Scholze không chỉ là một chuyên gia trên các cấu trúc p-adic với p nguyên tố cố định. Vừa mới đây, anh có viễn kiến về một không gian đối đồng điều phổ quát, có thể áp dụng cho bất cứ trường nào trên bất cứ không gian nào. Cần nhắc lại rằng, trong thập niên 1960, Alexandre Grothendieck, một trong những nhà Toán học thiên tài của thế kỷ 20, đã dưa ra lý thuyết motives, nhằm mục đích xây dựng lý thuyết đối đồng điều phổ quát (a universal cohomology theory). Sau đó Vladimir Veovodsky (Huy chương Fields 2002) đã phát triển được nhiều kết quả trên công trình mà Grothendieck bỏ dở. Nay Scholze lại tiếp cận vấn đề này từ một phía khác, (với lý thuyết của mình), giải quyết được hầu hết mọi trở ngại. Kết quả này khiến thế giới Toán học ngưỡng mộ và phấn khởi.

Để kết luận bài viết này, ta hãy nghe Jared Weinstein, giáo sư Đại học Boston, nói về Peter Scholze: