Lịch sử bài toán hit của Peterson

PGS-TS Nguyễn Sum cho biết, một số người nghiên cứu về tôpô đại số bắt đầu quan tâm đến bài toán hit từ năm 1980 nhưng không công bố. Đến năm 1986, GS Frank Peterson - Học viện Công nghệ Massachussets, Mỹ - chính thức trình bày bài toán này tại hội thảo của Hội Toán học Mỹ, trong đó bài toán hit được giải tường minh cho trường hợp đại số đa thức 1 và 2 biến cùng với một giả thuyết cho trường hợp tổng quát.

Sau đó, một số tác giả khác quan tâm nghiên cứu bài toán này với tên gọi “bài toán hit của Peterson” và chỉ ra các ứng dụng của nó trong nhiều bài toán cổ điển của lý thuyết đồng luân. Từ đó, “bài toán hit của Peterson” là bài toán mở và trở thành một trong những bài toán trung tâm của tôpô đại số, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều tác giả Việt Nam và thế giới.

Lời giải tường minh của “bài toán hit” cho trường hợp đại số đa thức 3 biến là nội dung luận án tiến sỹ của nhà nghiên cứu Kameko (ĐH Toyama, Nhật Bản) thực hiện tại ĐH Johns Hopkins vào năm 1990. Trong luận án này, Kameko đã đưa ra một giả thuyết về cận trên đúng của số lượng các phần tử sinh của đại số đa thức xem như module trên đại số Steenrod trong trường hợp tổng quát. Giả thuyết này đúng khi số biến của đại số đa thức không quá 3.

Trong nghiên cứu của mình, PGS Nguyễn Sum đã tiếp cận bài toán hit ở góc độ tính toán tường minh cho trường hợp đại số đa thức 4 biến. Mặc dù giả thuyết của Kameko là đúng trong trường hợp 4 biến, nhưng dựa vào kết quả đã đạt được trong trường hợp này, PGS Sum đã khảo sát quy luật biến đổi của các phần tử sinh tại một dạng bậc gọi là “bậc tổng quát” mà chưa có tác giả nào nghiên cứu đến. Từ đó, ông đã phát hiện ra rằng giả thuyết của Kameko là sai tại “bậc tổng quát” này khi số biến của đại số đa thức lớn hơn 4.