John Conway “tay không” làm toán

John Conway trong phòng làm tại trường Đại học Princeton năm 1993. Nguồn: Dith Pran/The New York Times

Trong toán học hiện đại, nhiều bước tiến lớn là những công trình lý thuyết công phu. Các nhà toán học làm được những việc phi thường, nhưng sức mạnh của họ đến từ những công cụ, là những khái niệm trừu tượng vô cùng phức tạp, giống như chiếc găng tay robot có thể làm tăng sức mạnh của người mang. Tuy nhiên là một nhà giải toán bẩm sinh theo lối cũ, John Conway thường khiến đồng nghiệp của mình kinh ngạc vì những công trình không cần công cụ trợ giúp.

“Ngay cả các nhà toán học hàng đầu cũng kinh ngạc vì khả năng của ông ấy. Người ta bảo rằng ông ấy là nhà toán học duy nhất làm việc được bằng ‘tay không’. Theo nghĩa đó, ông ấy là người mạnh nhất làng toán,” Stephen Miller, nhà toán học tại Đại học Rutgers nhận xét.

Ngày 11 tháng 4 năm 2020, nhà toán học sinh ở Liverpool (Anh) qua đời ở tuổi 82 vì Covid-19.

Đóng góp toán học của Conway cũng phong phú như những câu chuyện người ta kể về ông.

“Có lần ông ấy bắt tay tôi và nói với tôi về ‘bốn cái bắt tay từ Napoleon’, chuỗi bắt tay gồm có: [tôi] – John Conway – Bertrand Russell – Bá tước Russell I – Napoleon,” đồng nghiệp David Gabai tại Đại học Princeton viết trong một email. Một lần khác, Conway và nhà toán học Simon Kochen, một người bạn thân ở Princeton, nổi hứng quyết định ghi nhớ tên các thủ đô trên thế giới. “Chúng tôi quyết định nghỉ làm toán một thời gian,” Kochen nói, “và suốt vài tuần chúng tôi học về vùng phía Tây châu Phi và các nước vùng Ca-ri-bê.”

Conway có xu hướng, có lẽ độc nhất vô nhị, nhảy vào và thay đổi hoàn toàn một lĩnh vực toán học.

“Nhiều nhà toán học nghĩ về các đối tượng được ông nghiên cứu theo đúng cách ông nghĩ về chúng,” Miller nói. “Cứ như thể tính cách của ông đã được truyền vào chúng.”

Khám phá lớn đầu tiên của Conway mang tính sinh tồn. Giữa những năm 1960, ông là một nhà toán học trẻ mới bắt đầu sự nghiệp. Theo gợi ý của John McKay, Conway quyết định thử chứng minh một số tính chất của một đối tượng hình học có tên là lưới Leech. Nó xuất hiện trong nghiên cứu về cách xếp các quả cầu tiết kiệm không gian nhất – bài toán xếp cầu“Nhiều nhà toán học nghĩ về các đối tượng được ông nghiên cứu theo đúng cách ông nghĩ về chúng,” Miller nói. “Cứ như thể tính cách của ông đã được truyền vào chúng.”

Để hiểu lưới Leech và tầm quan trọng của nó, ta hãy xét một tình huống đơn giản hơn. Tưởng tượng chúng ta muốn đặt một số nhiều nhất có thể các hình tròn vào một miền mặt phẳng. Chúng ta có thể làm bằng cách chia mặt phẳng thành một lưới lục giác đều và đặt một hình tròn nội tiếp mỗi lục giác đều. Lưới lục giác này cho biết cách xếp hình tròn tối ưu trong không gian hai chiều.

Trong những năm 1960, nhà toán học John Leech đưa ra một loại lưới khác mà ông phỏng đoán sẽ cho biết cách xếp cầu tối ưu trong không gian 24 chiều (Giả thuyết đó sau này được chứng minh là đúng). Ứng dụng của nó trong bài toán xếp cầu khiến lưới Leech trở nên thú vị, nhưng còn nhiều điều chưa được biết về nó. Một trong những tính chất quan trọng là các đối xứng của lưới, được biểu diễn bằng các nhóm.

Năm 1966, do McKay thúc giục, Conway quyết định dù có mất bao nhiêu thời gian cũng phải xác định được nhóm đối xứng của lưới Leech.

“Ông ấy tự nhốt mình trong phòng, từ biệt vợ, và dự định suốt ngày làm việc trong vòng một năm,” nhà toán học Richard Borcherds tại Đại học California tại Berkeley, học trò cũ của Conway, kể.

Nhưng hóa ra chẳng cần thiết phải từ biệt. “Ông ấy tính xong nó trong khoảng 24 giờ,” Borcherds nói.

Khả năng tính toán nhanh là một nét đặc trưng của Conway. Ông coi nó là một hình thức giải trí. Ông tạo ra một thuật toán để tính nhanh thứ trong tuần của một ngày bất kỳ, và thích chơi cũng như tạo ra trò chơi. Có lẽ ông nổi tiếng nhất vì là tác giả “Trò chơi cuộc sống” [Game of Life], một chương trình máy tính trong đó một nhóm “tế bào” phát triển, tiến hóa theo một vài luật đơn giản.

Sau khi xác định được các đối xứng của lưới Leech – ngày nay có tên nhóm Conway – Conway quan tâm đến tính chất của những nhóm tương tự. Một nhóm như thế có tên nhóm “quái vật” [monster group], gồm các đối xứng trong không gian 196883 chiều.

Trong bài báo “Monstrous Moonshine” [Ánh trăng kỳ quái] công bố năm 1979, Conway và Simon Norton đưa ra giả thuyết về mối quan hệ sâu sắc đáng ngạc nhiên giữa các tính chất của nhóm quái vật với các tính chất của “hàm j”, những đối tượng xa xôi trong lý thuyết số. Họ phỏng đoán rằng số chiều của các không gian có nhóm quái vật gần như trùng với các hệ số của hàm j. Giả thuyết “ánh trăng” này được Borcherds chứng minh một thập kỷ sau đó, công trình này góp phần đem lại cho ông Huy chương Fields 1998.

Nếu không có khả năng tính toán và niềm yêu thích đánh vật với các thí dụ của Conway, có lẽ ông và Norton đã không nghĩ ra được giả thuyết ánh trăng.

“Họ khám phá ra mối quan hệ thần số học [numerology] này nhờ làm các thí dụ,” Miller nói. “Conway làm tất cả từ đầu, chẳng có một cây đũa thần nào cả. Khi hiểu về một thứ gì đó, ông ấy hiểu rõ hơn ai hết, và thường theo cách riêng của mình.”

Chín năm trước giả thuyết ánh trăng, cách làm toán thực hành của Conway giúp ông có được một đột phá trong một lĩnh vực hoàn toàn khác. Trong tô-pô học, các nhà toán học nghiên cứu các nút thắt, như các vòng dây khép kín. Họ quan tâm đến việc phân loại tất cả các nút. Thí dụ, nếu nối hai đầu một sợi dây giày chưa buộc, chúng ta có một loại nút; nếu thắt một nút đơn rồi mới nối hai đầu, ta lại được một loại nút khác.

Nhưng không phải lúc nào cũng đơn giản thế. Nếu lấy hai vòng dây rồi làm rối chúng, như thể cho mèo nghịch, chúng ta có thể không chỉ nhìn qua – thậm chí nhìn rất lâu – mà nói được chúng có phải là hai nút cùng loại hay không.

Trong thế kỷ 19, ba nhà khoa học người Anh và Mỹ – Thomas Kirkman, Charles Little và Peter Tait – đã xây dựng một thứ bảng tuần hoàn cho các nút. Trong sáu năm, họ đã phân loại được 54 nút đầu tiên.

Trong một bài báo năm 1970, Conway đưa ra một cách hiệu quả hơn để phân loại các nút. Cách biểu diễn của ông – ngày nay được gọi là ký hiệu Conway – giúp vẽ sơ đồ các chỗ xoắn và đè lên nhau của một nút một cách dễ dàng hơn rất nhiều.

“Little mất sáu năm, ông ấy làm trong một buổi chiều,” Marc Lackenby, nhà toán học nghiên cứu về nút tại Đại học Oxford, nhận xét.

Và còn hơn thế nữa. Cũng trong bài báo đó, Conway có một đóng góp lớn khác cho lý thuyết nút. Các nhà toán học nghiên cứu về nút sử dụng nhiều tiêu chuẩn khác nhau, thường có vai trò các bất biến. Nghĩa là nếu hai nút cho hai kết quả khác nhau thì chúng là hai [loại] nút khác nhau.

Một trong những tiêu chuẩn khả kính nhất trong lý thuyết nút là đa thức Alexander, một đa thức được xây dựng dựa trên cách một nút tự cắt. Đó là một tiêu chuẩn rất hiệu quả, nhưng lại hơi mơ hồ: một nút có thể có nhiều đa thức Alexander khác nhau (nhưng có quan hệ mật thiết với nhau).

Conway đã tinh chỉnh đa thức Alexander, loại bỏ sự mơ hồ. Kết quả là đa thức Conway, một công cụ cơ bản mà mọi nhà lý thuyết nút ngày nay đều được học.

“Ông ấy nổi tiếng với việc bước vào và làm mọi thứ theo cách riêng của mình. Ông ấy đã làm thế với lý thuyết nút, và tạo ra ảnh hưởng lâu dài,” Lackenby nói.

Ngoài 70 tuổi, Conway vẫn tích cực nghiên cứu và là một nhân vật thường xuyên ở phòng sinh hoạt chung của khoa toán Đại học Princeton. Nhưng hai năm trước, một cơn đột quỵ đã khiến ông phải vào ở trong một nhà dưỡng lão. Các đồng nghiệp cũ, trong đó có Kochen, vẫn thường xuyên tới thăm ông, cho tới khi Covid-19 khiến việc thăm viếng phải ngừng. Kochen vẫn gọi điện thoại cho Conway suốt mùa đông, lần cuối cùng khoảng hai tuần trước khi Conway mất.

“Ông ấy không thích việc bị cấm tiếp khách, và ông ấy nói về con virus quái ác. Quả nhiên, con virus quái ác đã hạ gục ông ấy,” Kochen nói.□

Theo Tiasang