Thời điểm Eureka: Paul Dirac - Người kỳ lạ nhất (kỳ 4)

Tên đầy đủ của Dirac là Paul Adrien Maurice Dirac, viết tắt là P.A.M. Dirac. Có người quen Dirac tới sáu năm mà chưa biết P.A.M. là gì, vì Dirac hầu như không nói về mình.

Mặc dù có khả năng vượt trội về Toán, theo định hướng của gia đình, năm 1918, khi mới 16 tuổi, Dirac vào học ngành kỹ sư của Đại học Bristol. Tại đây, Dirac lần đầu được nghe về thuyết tương đối Einstein. Và, anh đã tự học và tự dẫn ra được toàn bộ tính toán của cả Tương đối đặc-biệt (Special Relativity) lẫn Tương đối tổng-quát (General Relativity).

Tốt nghiệp kỹ sư năm 1921, trong khi đang tìm việc, theo lời khuyên của nhà toán học Ronald Hasse’, Dirac về lại trường, học thêm ngành Toán. Hasse’ đã thu xếp để Dirac được học miễn phí và bỏ qua năm thứ nhất, nghĩa là chỉ cần học hai năm là tốt nghiệp. Đồng thời, ông khuyên Dirac nghe thêm các bài giảng về Vật lý.

Tốt nghiệp Toán năm 1923, Dirac nhận được học bổng sau đại học ở Cambridge dưới sự hướng dẫn của nhà vật lý-toán Ralph Fowler. Mặc dù luôn tự mình giải xuất sắc tất cả các bài toán mà Fowler giao cho, Dirac không hứng thú với những bài toán ấy, thậm chí giải xong quên luôn, đến nỗi có lần Fowler phải bảo: "Nếu anh không viết xong bài báo, thì anh có thể nghỉ luôn được rồi đấy!’ Nguyên do là, Dirac luôn muốn làm về các vấn đề cơ bản hơn, chứ không chỉ là việc giải thích hiện tượng này hay hiệu ứng kia. Và, cuối cùng cơ hội cũng đến.

Dirac đã xây dựng một lý thuyết toán học trừu tượng và chính xác, trong đó các đại lượng toán học có thể biểu thị các đại lượng vật lý mà ta quan tâm. Nhờ vậy, lý thuyết có tính tổng quát cao, mô tả hành vi của mọi đối tượng lượng tử ở mọi thời điểm không-thời gian.

Các Phương trình cơ bản của Cơ học lượng tử

Khoảng giữa 1925, Fowler đưa cho Dirac bản in thử bài báo 15 trang bằng tiếng Đức của Heisenberg, với dòng chữ viết thêm ở góc phải phía trên: ‘Anh nghĩ gì về bài này? Tôi sẽ rất vui được nghe.’ Đây chính là bài báo được thai nghén ở Helgoland mà Born đã tự gửi cho tạp chíZeitschrift fur Physik.

Sau đôi tuần cho là bài báo không có gì đáng quan tâm, Dirac chợt nhớ ra rằng các ‘Bảng’ của Heisenberg chính là các ma trận. Đọc kỹ lại, Dirac nhận ra một điểm lạ thú vị. Trong vật lý cổ điển, các đại lượng được biểu thị bằng các con số và như vậy, tất nhiên, tích của hai đại lượng không phụ thuộc vào số nào đứng trước số nào đứng sau (gọi là tính giao hoán). Trong bài của Heisenberg, các đại lượng không còn là số mà là các bảng (ma trận), nên trong nhiều trường hợp tích của hai đại lượng không còn giao hoán nữa. Chẳng hạn, momentum p và tọa độ q của một hạt là không giao hoán: p.q ≠ q.p.

Heisenberg khá lúng túng với tính không giao hoán này. Do đã làm quen với đại số Grassmann và công trình của William Hamiton liên quan tới các tích không giao hoán, lại nhận ra (q.p – p.q) có gì đó giống như móc Poisson (‘Poisson bracket’ của nhà toán học Pháp, Simeon-Denis Poisson), nên ngay lập tức Dirac hiểu rằng đây chính là chìa khóa để phát triển một lý thuyết mới tương đồng với lý thuyết cổ điển.

Thế là, sau vài tuần làm việc không ngừng nghỉ, Dirac đã xây dựng được một cơ sở toán học chặt chẽ của lý thuyết lượng tử, tương tự như lý thuyết cổ điển. Mối liên hệ giữa các đại lượng toán học trong lý thuyết được xác lập chính xác, trong đó có hệ thức quan trọng q.p – p.q = iħ, ở đây i = √-1 là số ảo, còn ħ = h/2π cũng gọi là hằng số Planck. Lưu ý là, về phải của hệ thức này là một hằng số tổng quát, không phụ thuộc vào các đại lượng ở vế trái. Điều này nghĩa là, về trái có thể là một cặp đại lượng khác, chẳng hạn, năng lượng và thời gian. Cái hay nữa, khi chuyển về cổ điển, ħ → 0, ta nhận lại hệ thức giao hoán cổ điển: q.p = p.q. Dirac rất tâm đắc với hệ thức này.

Khoảng đầu tháng 11, Dirac viết xong bài báo với tiêu đề ‘Fundamental Equations of Quantum Mechanics’ (Các Phương trình cơ bản của Cơ học lượng tử). Với ủng hộ mạnh mẽ của Fowler, Viện sĩ của Viện Hàn lâm khoa học Anh, bài báo được Royal Society công bố chỉ sau ba tuần kể từ ngày nhận được bản thảo.

Trong suốt khoảng thời gian đó, trừ Fowler, trong khoa không ai biết về phát kiến mới của Dirac. Khi họ nhìn thấy bài của Dirac trong thư viện cũng là khi bài đã đến tay Born và Heisenberg ở Göttengen. Sau này, nhớ lại cảm giác khi đọc bài của Dirac, Born viết: ‘Đó là một trong những điều ngạc nhiên lớn nhất trong cuộc đời tôi […]. Tác giả hóa ra là một người rất trẻ, mà tất cả đều hoàn hảo và đáng khâm phục’ [1].

Còn Heisenberg thì viết cho Dirac bức thư hai trang khen ngợi hết lời. Tuy nhiên, đoạn cuối của bức thư đã làm nhói đau trái tim Dirac: ‘Tôi hy vọng anh không cảm thấy phiền lòng bởi sự thật là một số các kết quả của anh đã được tìm thấy ở đây [Göttingen] sớm hơn đôi chút’. Ta có thể hiểu được tâm trạng của Dirac khi đó: dù chỉ muộn hơn vài tuần, vẫn cứ là người đi sau. Bài của Dirac vượt trội hơn về phương pháp luận, về tính logic và chính xác, làm cho cơ học lượng tử trở nên mạnh hơn và phổ quát hơn.

Trong năm tiếp theo, Dirac còn nhiều lần trải nghiệm cái cảm giác hẫng hụt của người bị chậm một chút. Khoảng hai tháng sau bảo vệ tiến sĩ, tháng 8/1926, Dirac gửi tới Royal Society bài báo lý thuyết về phân bố năng lượng của hệ electron.

Khi bài in ra vào tháng mười, Dirac nhận được thư của Enrico Fermi (1901-1954, Italy, Nobel Vật lý 1938) thông báo rằng mình đã công bố cùng kết quả từ tám tháng trước. Hai phương pháp khác nhau cho cùng một kết quả - đó chính là hàm phân bố Fermi-Dirac rất quen thuộc. Dẫu được ghi danh bên cạnh Fermi, Dirac vẫn chỉ là người thứ hai.

Mùa thu 1926, trong khi đang ở thăm Copenhagen, Dirac phát triển một ‘lý thuyết chuyển đổi’ rất đẹp, đặt nền tảng cho mỗi quan hệ giữa hai hình thức luận cơ học lượng tử: sóng và ma trận. Dirac hy vọng lần này thì anh sẽ là ‘người đầu tiên’. Nhưng, than ôi, khi bài của Dirac còn chưa in ra, anh đã được biết rằng Jordan đã công bố cùng một kết quả.

Cho dù, phương pháp cũng như trình bày của Dirac là đẹp hơn và tiện sử dụng hơn, anh lại vẫn là người thứ hai. Dù sao, thế hệ sau rất biết ơn bài báo này của Dirac, trong đó lần đầu tiên anh đưa ra khái niệm toán tử sinh-hủy và hàm delta-Dirac.

Thực ra, Dirac còn đã tiếp cận khá gần tới nguyên lý loại trừ (exclusion principle) mang tên Pauli (Wolfgang Pauli 1900-1958, Áo, Nobel Vật lý 1945) hay thậm chí nguyên lý bất định (uncertainty principle) mang tên Heisenberg.

Ý thức được vị thế cô đơn của mình trong cuộc cạnh tranh với cộng đồng đông đảo các nhà vật lý tài năng bên châu Âu đại lục, Dirac rất muốn có một phát minh mà mình là người đầu tiên, thậm chí duy nhất.

Phương trình Dirac

Ngày ấy, cơ học lượng tử có hai vấn đề nan giải. Một là, cơ học lượng tử đương thời chưa bao hàm tính tương đối Einstein. Trong thuyết tương đối đặc biệt, thời gian và ba chiều không gian hợp nhất bình đẳng thành không-thời gian 4 chiều. Không chỉ thời gian mà, thậm chí, cả khối lượng cũng trở nên phụ thuộc vào vận tốc. Làm thế nào tích hợp được tính tương đối này vào cơ học lượng tử? Đã có nhiều người gắng thử nhưng chưa thành công.

Hai là, vấn đề spin. Thực nghiệm cho thấy, ngoài ba số lượng tử n, l, và ml, trạng thái của electron còn phụ thuộc vào số lượng tử thứ tư, gọi là số lượng tử spin. Mặc dù Pauli đã thành công quan trọng trong đề xuất nguyên lý loại trừ và định dạng được ma trận 2x2 của toán tử spin (gọi là ma trân Pauli), nhưng, câu hỏi cốt lõi: ‘Bản chất của spin là gì ?’ thì vẫn còn đó như một thách thức bất khả hóa giải.

Sau bài “Các phương trình cơ bản của cơ học lượng tử”, Dirac đã nổi lên như một nhà vật lý lượng tử hàng đầu. Trong Hội đồng Solvay tháng 10/1927, khi Dirac chia sẻ với Bohr rằng anh đang quan tâm đến việc tích hợp tương đối Einstein vào cơ học lượng tử, thì Bohr nói ngay là việc ấy Klein đã làm rồi.

Không có thời gian để giải thích với Bohr, dù sao câu nói của ông ấy đã làm cho Dirac thấy tính cấp bách của vấn đề. Cần tìm một phương trình, trong đó, trước hết, không gian và thời gian là bình đẳng. Phương trình đó phải bao hàm ‘tương đối Einstein’, chẳng hạn sự phụ thuộc của các đại lượng vật lý vào vận tốc. Trong trường hợp vận tốc nhỏ (so với vận tốc ánh sáng), từ phương trình đó lại phải dẫn ra được tất cả các kết quả tương đồng như cơ học lượng tử đang có.

Trong phương trình Schrödinger, thời gian (ở đạo hàm bậc một) và các tọa độ không gian (ở đạo hàm bậc hai) là không bình đẳng. Để khắc phục, Oskar Klein (Thụy Điển, 1894-1977) và Walter Gordon (Đức, 1893-1939) đã đề xuất một phương trình, trong đó đạo hàm theo thời gian cũng bậc hai (phương trình Klein-Gordon). Chính Schrödinger cũng từng làm như vậy. Tiếc là phương trình loại này không cho kết quả mong muốn.

Tuy vậy, chỉ còn khả năng, cả đạo hàm theo thời gian và theo tọa độ không gian đều bậc một. Dirac đã thử với nhiều dạng phương trình khác nhau, và sau khi hóa giải được một cách thần tình những khó khăn liên quan tới các toán tử căn bậc hai cực khó chịu, cuối cùng anh đã nhận dược một phương trình cực đẹp, cực giản dị, thỏa mãn đầy đủ các yêu cầu đặt ra, sau này được gọi là Phương trình Dirac.

Đây là Phương trình cơ bản của cơ học lượng tử tương đối tính (Relativistic Quantum Mechanics), nó có vai trò (và đẹp) tương tự phương trình Einstein trong thuyết tương đối tổng quát hay phương trình Schrödinger của cơ học lượng tử sóng. Không đừng được, tôi xin phép copy ra đây phương trình này, như được khắc trên bia tưởng niệm Dirac ở Westminster Abbey: iγ.∂ψ = mψ, mà không giải thích gì thêm.

Bài báo ‘The Quantum Theory of the Electron’ (Lý thuyết lượng tử của electron) với phương trình Dirac, đăng trên tạp chí Proceedings of Royal Society đầu năm 1928, đã làm chấn động thế giới vật lý. Xin trích ra chỉ vài nhận xét. Ở Mỹ, Van Vleck’ ví cách giải thích về spin của Dirac như ảo thuật lấy con thỏ từ cái mũ, còn John Slater thì viết: ‘… Ở châu Âu, người tự tin hơn ai hết như Heisenberg cũng phải thốt lên: ‘Miễn tranh luận, Dirac thông minh đến nỗi, không nên nghĩ đến việc so sánh với anh ấy’. Born xem phương trình Dirac là ‘an absolute wonder’ (một kỳ diệu tuyệt đối). Còn, Jordan (cùng Wigner cũng đang làm về vấn đề mà Dirac đã giải quyết) thì chết lặng vì kinh ngạc.

Thật kỳ diệu, trong phương trình Dirac, ma trận Pauli hiện ra một cách tự nhiên với các đặc trưng hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm. Điều đó nghĩa là spin của hạt là một thuộc tính lượng tử-tương đối tính thuần túy không có tương đồng nào trong vật lý cổ điển (kiểu như quan niệm sai lầm cho rằng spin là do electron quay quanh trục của mình).

Tuy nhiên, có một vấn đề mà theo Heisenberg nếu không hóa giải được thì dù phương trình có đẹp đến mấy cũng vô nghĩa. Nguyên do là, phương trình Dirac, liên quan với thuyết tương đối đặc biệt, chỉ xác định bình phương năng lượng, E² , của electron, chẳng hạn E² = 9. Như vậy E có thể có hai giá trị khác dấu, chẳng hạn +3 và -3. Electron với năng lượng dương (+3) thì rõ rồi, nhưng năng lượng âm (-3) thì theo quan điểm cổ điển là vô nghĩa. Hiểu thế nào về ‘electron’ năng lượng âm?

Tiên đoán tồn tại anti-proton

Trong khi chưa có câu trả lời thỏa đáng, Dirac đi thăm nhiều đại học, từ châu Âu đại lục, đến Mỹ, và thậm chí thăm Liên-Xô hai lần. Dirac thân với hai nhà vật lý Liên-Xô, Peter Kapitza (1894-1984, Nga, Nobel Vật lý 1978) và Igor Tamm (1895-1971, Nga, Nobel Vật lý 1958), và là nhà khoa học phương Tây hiếm hoi thời đó có cảm tình và đã đến thăm Liên Xô.

Có thể là, khi đến thăm Leningrad (St.Petersburg), Dirac đã nghe Yakov Frenkel (1894-1952, Nga) kể về các lỗ trống (holes) trong bán dẫn, rất giống với ‘electron’ năng lượng âm trong phương trình của mình. Chỉ biết là, cuối năm đó Dirac đề xuất lý thuyết lỗ trống (hole theory), trong đó ‘electron’ năng lượng âm là ‘lỗ trống’.

Ngày ấy, ngoại trừ tiên đoán của Rutherford về sự tồn tại của neutron bên trong hạt nhân nguyên tử, người ta chưa quen với việc lý thuyết lại tiên đoán các hạt mới trước khi thực nghiệm quan sát được. Thế nên, tình trạng do dự kéo dài là dễ hiểu. Có thể xem những gì viết trong một bài báo đầu năm 1931 là chính kiến cuối cùng của Dirac về vấn đề: ‘Lỗ trống, nếu có, sẽ là một loại hạt mới, chưa biết đến trong vật lý thực nghiệm, có cùng khối lượng nhưng mang điện tích trái dấu với electron. Chúng ta có thể gọi hạt như vậy là anti-electron.’ Đây chính là tiên đoán của Dirac về sự tồn tại của anti-electron (phản-electron). Tương tự, lý thuyết của anh cũng tiên đoán tồn tại anti-proton.

Thật tuyệt vời, ngay năm sau, Carl Anderson ở Viện Công nghệ California đã quan sát được anti-electron trong các tia vũ trụ, và đặt cho nó cái tên ‘positron’. Với quan sát này, Anderson được trao Nobel Vật lý năm 1936. Quan sát của Anderson đã xác thưc tiên đoán về anti-electron của Dirac.

Ngày nay chúng ta biết, mỗi hạt đều có ‘phản’ của mình, và rộng ra, bên cạnh thế-giới vật chất có thế-giới phản vật chất. Vậy là, lý thuyết Dirac đã tiên đoán sự tồn tại của một nửa vũ trụ: vũ trụ phản-vật chất. Một phát minh cực kỳ vĩ đại.

Chỉ bằng những gì đã kể, thì đến thời điểm 1932 này, khi Dirac mới 30 tuổi, Anh đã xứng đáng đứng ở hàng đầu của những nhà khoa học vĩ đại nhất thế kỷ XX. Thế mà, với những người trong nghề, các đóng góp tiếp theo của Ông có tầm quan trọng không kém. Tôi muốn nói về vai trò tiên phong có tính khai sáng của Dirac trong phát triển lý thuyết trường lượng tử (Quantum Field Theory), mà bài viết này không thể đề cập đến. Ngoài ra, Dirac còn có đóng góp vào nhiều lĩnh vực khoa học khác. Tôi rất ấn tượng về những ý tưởng của ông trong Vũ trụ học.[3]. Vâng, Dirac thực sự là ‘Người kỳ lạ nhất’ !

[1]. Graham Farmelo, The Strangest man, Basic books, New York 2009;

[2]. V.L. Nguyen, Thời điểm Eureka & Chúa không chơi trò súc sắc, (kỳ 1, 3) Khoa học & Phát triển, N.1338-1339, 2025;

[3]. Thomas Hertog, On the origin of time, Bantam Books, New York 2023 (sắp có bản tiếng Việt của tủ sách Khoa học & Khám phá, NXB Trẻ).