Ngày ấy các nhà vật lý ở hai đại học hàng xóm, Đại học Zurich và Đại học Bách khoa (ETH), duy trì một seminar chung, hai tuần một lần, dành để thảo luận các vấn đề thời sự nhất. Bên ETH có nhà vật lý nổi tiếng Peter Debye (1884-1966, Nobel Hóa học 1936) và nhà toán học lỗi lạc Hermann Weyl (1885-1955).
Một hôm, Debye đề nghị Schrödinger làm một seminar về luận án của de Broglie, vừa được đăng trên Annales de Physique. Schrödinger đồng ý và buổi seminar đã diễn ra vào ngày 23/11/1925. Tham gia seminar có Felix Bloch (1905-1983, Nobel Vật lý 1952), một sinh viên trẻ học nghề kỹ sư, nhưng mê vật lý nên thường xuyên nghe các bài giảng của Debye.
Theo hồi tưởng của Bloch hơn 50 năm sau thì, sau khi Schrödinger đã trình bày rất rõ ràng cách thức de Broglie liên kết một hạt với một sóng và cách thức ông ấy mô tả chuyển động của electrom trên quỹ đạo trong mẫu Bohr bằng một sóng đứng, Debye đã nhận xét một cách tùy hứng rằng, cách suy luận kiểu ấy khá là trẻ con, và rằng để xử lý các sóng một cách đúng đắn cần phải có một phương trình sóng. Với ai đó nhận xét này nghe có vẻ bình thường, không mấy ấn tượng, nhưng với Schrödinger thì đây thực sự là một ý tưởng, một ‘Question’ theo ‘châm ngôn’ của John Wheeler (1)
Trăn trở với ‘Question” của Debye, vài ngày trước Christmas 1925 Schrödinger đi nghỉ cùng một bạn gái cũ người Vienna tại vùng Alps của Thụy Sĩ, mang theo các ghi chép về luận án của de Broglie. Không rõ người bạn gái này là ai và cô ấy đã ảnh hưởng thế nào đến Schrödinger, chỉ biết là chính trong kỳ nghỉ chừng hai tuần ấy ông đã (một mình) phát minh ra cái phương trình sóng mà Debye đòi hỏi – sau này gọi là Phương trình Schrödinger – và qua đó sáng lập ra cơ học lượng tử sóng. Có gì đó tương đồng giữa kỳ nghỉ của Schrödinger trên vùng núi Alps với kỳ nghỉ của Heisenberg trên đảo Helgoland (1), và thậm chí với cả kỳ nghỉ tránh đại dịch hạch của Isaac Newton (1643-1727) ở trang trại táo của bà ngoại (2). Những kỳ nghỉ ‘Eureka’ của Vật lý!
Theo những ghi chép còn lưu giữ được, Schrödinger đã tiếp cận tới phương trình của mình bằng cách như sau. Trước hết, hạt (chẳng hạn electron) có tính ‘sóng’, vậy phương trình đó phải có dang một phương trình sóng. Rồi, tính ‘hạt’ được tích hợp vào qua hệ thức de Broglie giữa momentum p (của hạt) và bước sóng λ (của sóng), λ = h/p1. Lẽ thường, phương trình cần tìm phải có lời giải hữu hạn, liên tục, và đơn trị. Và, đặc biệt, Schrödinger yêu cầu, trong trường hợp riêng của hạt chuyển động tự do, lời giải của phương trình ấy phải có dạng của sóng de Broglie đã biết.
Thoạt đầu, Schrödinger đã thử với phương trình sóng cổ điển quen thuộc, nó liên kết đạo hàm bậc hai theo thời gian của đại lượng gọi là hàm sóng, thường ký hiệu là ψ, với đạo hàm bậc hai theo tọa độ không gian của nó. Ông ngay lập tức nhận ra rằng, chính cái đạo hàm bậc hai theo thời gian này đã làm cho phương trình sóng cổ điển không mô tả được các đối tượng ‘sóng-hạt’ của de Broglie.
Đến đây, chưa rõ, bằng lập luận nào mà Schrödinger đã thay số hạng đạo hàm bậc hai theo thời gian bằng đạo hàm bâc nhất để nhận được phương trình mong muốn, trong đó về phải đơn giản là toán tử năng lượng (gọi là Hamiltonian Ĥ) tác dụng lên ψ. Trong cơ học lượng tử, nói chung, các biến động học được biểu thị bằng các toán tử, để phân biệt thường thêm dấu mũ ở trên, chẳng hạn, toán tử momentum p được viết là p̂3. Phương trình nhận được thỏa mãn tất cả các điều kiện đặt ra và áp dụng được cho hệ hạt bất kỳ, với Ĥ là tổng tất cả động năng của các hạt trong hệ cùng với các thế năng tương tác giữa chúng. Đó chính là phương trình Schrödinger mà ngày nay ta thấy trong các sách giáo khoa (không chỉ sách vật lý)!
Cần nói rõ rằng, dẫn giải ở trên chỉ nhằm làm ta hiểu thêm thôi, chứ bản thân phương trình này là một tiên đề. Nó là sản phẩm sáng tạo của Schrödinger, không thể ‘suy ra’ được từ đâu đó. Và, nó là một trong vài phương trình kiều diễm nhất, phổ quát nhất, với tầm ảnh hưởng sâu rộng nhất trong toàn bộ lịch sử vật lý.
Trở lại với Schrödinger những ngày đầu tháng giêng 1926. Việc đầu tiên là ông giải phương trình nhân được cho nguyên tử Hydrogen, khi đó Ĥ gồm động năng của electron và thế năng (Coulomb) của nó trong tương tác với hạt nhân.
Thoạt đầu, Schrödinger gặp khó với việc giải phương trình vi phân, nhưng nhờ được Weyl tư vấn, đến giữa tháng ông đã nhận được lời giải trọn ven. Hàm sóng ψ phụ thuộc vào ba số lượng tử, thường gọi là số lượng tử chính (n), quỹ đạo (l), và từ (m). Số lượng tử n xác định các mức năng lượng có thể. Toàn bộ mẫu Bohr và hơn thế nữa hiển hiện ra một cách chính xác và tự nhiên, mà chẳng cần một ‘giả thuyết’ nào. Thật tuyệt vời!. Schrödinger gửi bài báo về kết quả này tới Annalen der Physik, và tòa soạn nhận được vào ngày 27 tháng giêng 1926, chỉ ba tuần lễ kể từ hôm ông có khám phá đầu tiên về phương trình của mình4. Và, ngày hôm ấy được xem là Ngày sinh của cơ học lượng tử sóng.
Trong sáu tháng tiếp theo Schrödinger đã viết một loạt sáu bài báo cực sáng tạo về cơ học lượng tử sóng của mình, trong đó có bài chứng minh sự tương đương của hai phiên bản cơ học lượng tử, ma trận và sóng. Weyl gọi đây là thời kỳ ‘erotic outburst’ trong cuộc đời Schrödinger (tạm dịch, ‘bùng phát mãnh liệt’, để hiểu thêm ý-tứ của Weyl. Xin bật mí rằng Schrödinger luôn không thể thiếu bạn gái).
Ngay khi xuất hiện, cơ học lượng tử sóng đã gây tiếng vang lớn, được cộng đồng vât lý đón nhận rộng rãi và nhiệt thành. Sở dĩ vậy, một phần là vì ‘sóng’ và ‘phương trình sóng’ là vốn dĩ rất quen thuộc trong vật lý cổ điển (sóng nước, sóng âm, sóng điện từ) và rất dễ mường tượng (sóng lan truyền đi), phần nữa vì phép tính giải-tích trong cơ học lượng tử sóng quen-thuộc và dễ thực hiện hơn so với phép tính đại-số trong cơ học lượng tử ma trận, mà ngày ấy nhiều người còn e ngại.
Chính Max Born, một trong các tác giả của cơ học lượng tử ma trận đã là người sớm cỗ vũ và đánh giá cao phát minh của Schrödinger, cho rằng cơ học lượng tử sóng có thể giúp giải được nhiều bài toán (chẳng hạn, bài toán va chạm), mà cơ học lượng tử ma trận rất khó có thể thực hiện. cơ học lượng tử sóng thật sự tuyệt với!
Thế nhưng, ngay từ những ngày đầu của cơ học lượng tử sóng, một ‘Question’ rất cơ bản đã được đăt ra: thực thì ψ trong phương trình Schrödinger là gì? Nó là một đại lượng phức, nghĩa là nó không thể trực tiếp đo hay quan sát được. Thế mà, vật lý lại dựa trên chỉ những gì quan sát được. Vậy, nếu không có cách nào liên kết ψ với một đại lượng quan sát được, thì nó là hoàn toàn vô nghĩa. Chính Schrödinger đã rất lúng túng với ψ của mình. Một gợi ý, ψ là phức, nhưng bình phương modul của nó, |ψ|2, là thực, và như vậy có thể đo được. Schrödinger đã từng nhầm lẫn xem |ψ|2 là mật độ điện tích của electron (thế với hạt không mang điện thì sao?). Bản chất của ψ là gì? Một ‘Question’ thực sự khó. Nhưng lịch sử (History) Vật lý cho thấy mỗi khi có một ‘Question’ đúng đắn, ‘History’ sẽ luôn gọi tên Người trả lời. Lần này, Người đó là ai?
Hóa ra, đó vẫn là Max Born. Trước khi trở thành Giám đốc Viện Vật lý Lý thuyết ở Göttingen vào năm 1919, Born đã học Toán ở Breslau, Heidelberg, và Zurich, nhận bằng tiến sỹ Vật lý lý thuyết ở Đại học Göttingen, và trở thành giáo sư Vật lý Lý thuyết ở Đại học Berlin vào năm 1915, ở đây Born đã gặp Einstein và hai người trở thành bạn thân suốt từ đó.
Đánh giá về vai trò của Born trong kiến tạo lý thuyết lượng tử, Rovelli Carlo viết rằng, Born là người ít khuyếch trương nhất, ít nổi tiếng nhất trong các nhà sáng tạo cơ học lượng tử, nhưng có lẽ ông là kiến trúc sự thực sự của lý thuyết này (2). Thật vậy, chính Born đã nhận ra giá trị ý tưởng của Heisenberg và phát triển nó thành cơ học lượng tử ma trận, rồi cũng chính ông đã nhận ra giá trị của cơ học lượng tử sóng và mang lại cho ψ một ý nghĩa thực tiễn. Sau nhiều trăn trở, trong một bài báo viết khoảng giữa năm 1926 Born đề xuất rằng, ψ trong phương trình Schrodinger mô tả một sóng xác suất và giá trị của |ψ|2 tại một vị trí không-thời gian xác định xác suất tìm hạt tại điểm đó. Như vậy, Born là người đầu tiên đưa ‘xác suất’ thành một đặc trưng nội tại của thế giới lượng tử.
Ta không thể nói chính xác một hạt đang ở đâu, mà chỉ có thể nói về xác suất của nó – một ý tưởng cực cách mạng, trái hẳn với luật nhân quả và tất định luận – nền tảng của Vật lý cổ điển. Ý tưởng này đã gây ra cuộc tranh luận nhiều chục năm về sau. Ngay từ đầu, như một ‘trợ giúp’, Born đã phải hơn một lần viết là ông được gợi ý từ một bài báo (chưa và sẽ không đăng) của Einstein. Còn chính Einstein thì lại viết cho Born một câu nổi tiếng ‘God is not playing dice’ (Chúa không chơi trò súc sắc).
Tài liệu tham khảo:
[1] Nguyễn V.L.,Thời điểm Eureka, Khoa học & Phát triển, số1337, 2025;
[2] Rovelli Carlo, Reality is not what it seems, Riverhead Books, New York 2018; Helgoland. Making sense of the quantum revolution, Riverhead Books, New York 2021;
[3] Nguyễn V.L., Vật lý hiện đại, NXB Y học, 2013;
[4] Jim Baggott, The Quantum Story, Oxford University Press, 2011
Bài đăng KH&PT số 1339 (số 15/2025)