Với Định lý Noether, những nghi ngại gây ra bởi thuyết tương đối tổng quát đã được giải quyết và cho thấy vật chất và lực hấp dẫn được xem như thống nhất là một, chứ không phải là hai đại lượng tách biệt hoàn toàn. Như vậy không có sự vi phạm luật bảo toàn nào cả.
Năm 1915, hai nhà Toán học hàng đầu thế giới thời ấy là David Hilbert và Felix Klein, mời một nhà nữ Toán học tên là Emmy Noether về trường ĐH nổi tiếng Göttingen của mình, trước là để cộng tác với Khoa Toán, sau là – một cách kín đáo - “vấn kế” về một vấn đề rất “thời sự” và nóng bỏng thuộc lĩnh vực Vật lý lý thuyết. Trong Thuyết tương đối tổng quát mà nhà Vật lý thiên tài Albert Einstein mới công bố, có một sự việc xem ra không phù hợp với nguyên lý bảo toàn năng lượng mà xưa nay ai cũng biết và công nhận. Hilbert và Klein đã thử tìm cách giải thích nhưng chưa có lời giải thích đáng.
Tại sao hai nhà Toán học hàng đầu này lại đặt tin tưởng vào một nhà nữ Toán học chưa có tên tuổi, hơn nữa, thời ấy ở Đức người ta rất coi thường phụ nữ chứ đừng nói trọng dụng trong môi trường hàn lâm?
Tên đầy đủ của người phụ nữ ấy là Amalie Emmy Noether. Bà sinh năm 1882 trong một gia đình gốc Do Thái tại thành phố Erlangen, Bavaria, Đức. Cha của bà, Max Noether, là GS Toán (tự học) tại ĐH Erlangen. Ông chuyên về lý thuyết hàm đại số, một ngành Toán mới tại châu Âu2, sau này phát triển thành Hình-Đại số. Mẹ bà, bà Ida Amalia Kaufmann, thuộc gia đình khá giả ở Cologne.
Thời ấy, con gái không được vào các trường gymnasium, một loại trường Trung học tốt dành cho con trai, chuẩn bị cho học sinh vào ĐH sau khi tốt nghiệp. Nên Emmy ghi danh vào học trường Städtischen Höheren Töchterschule, một loại trường Trung học dành cho con gái. Bà tỏ ra có năng khiếu ngoại ngữ (Anh văn và Pháp văn). Sau Trung học, bà theo học trường sư phạm để được đào tạo thành cô giáo dạy ngoại ngữ trong những trường nữ. Năm 1900, vừa 18 tuổi, bà tốt nghiệp.
Chưa bắt đầu vào nghề dạy học, bà đã thay đổi ý định. Thời ấy, các trường ĐH ở Đức không nhận nữ sinh. Bà xin phép đặc cách ghi tên vào ĐH Erlangen với tư cách dự thính để học Toán. Năm 1903, bà qua được kỳ thi tuyển để được vào ĐH danh tiếng Göttingen học dự thính một học kỳ. Ở đó bà được sự khuyến khích của một số GS Toán nổi tiếng như Hermann Minkowski, Felix Klein, và nhất là David Hilbert. Năm 1904, bà trở về Erlangen hoàn tất chương trình ĐH.
Emmy Noether (1882 – 1935).
Năm 1904, bà được GS Paul Gordan, người được mệnh danh là “vua của lý thuyết bất biến” nhận làm GS cố vấn (advisor). Nhờ vậy sau này lý thuyết bất biến đã giúp bà có nhiều khám phá quan trọng trong lĩnh vực Vật lý lý thuyết. Năm 1907, Emmy Noether 25 tuổi, tốt nghiệp Tiến sĩ loại xuất sắc (summa cum laude).
Năm 1908, TS Noether được tuyển làm giảng viên không lương tại trường ĐH Erlangen (qui chế này áp dụng cho mọi Tiến sĩ mới được tuyển). Mặc dù cha bà có trợ giúp tiền bạc, nhưng cuộc sống của bà khá chật vật.
Noether không ngừng nghiên cứu những công trình của Hilbert về Đại số và Lý thuyết số. Hilbert đã ảnh hưởng sâu đậm trên sự nghiệp của bà, và nhờ đó bà trở thành nhà Toán học đi tiên phong trong lĩnh vực Đại số trừu tượng sau này. Còn Hilbert thì ông biết khả năng của bà, ngay từ năm 1903 khi bà còn ngồi dự thính lớp của ông ở Göttingen, ông tận tình khuyến khích và giúp đỡ.
Cần công cụ Toán mới để hiểu Einstein
Năm 1905, thế giới Khoa học bị choáng váng khi một người thư ký 26 tuổi phụ trách bằng sáng chế ở thành phố Bern, Thụy Sĩ, tên là Albert Einstein, chứng minh được rằng không gian và thời gian quyện vào nhau để trở thành một cái gọi tên là không-thời-gian (space-time). Các nhà Toán học Klein, Hilbert và Minkowski cũng giật mình khi nghe nói rằng thời gian bị chậm lại đối với vật thể di chuyển quá nhanh và rằng vận tốc ánh sáng là điều duy nhất “bất biến” trong lý thuyết của Einstein, Thuyết tương đối đặc biệt (the special theory of relativity), vừa mới được công bố.
Sự cần thiết những công cụ Toán học mới cho Vật lý trở nên cấp thiết sau 10 năm thuyết tương đối đặc biệt ra đời. Năm 1915, Einstein lại làm cho thế giới bị choáng váng thêm một lần nữa khi ông trình bày Thuyết tương đối tổng quát (thegeneral theory of relativity), thuyết này bao gồm cả vấn đề lực hấp dẫn (gravity) và như vậy làm thay đổi sự hiểu biết của chúng ta về công trình của Newton, đưa chúng ta ra khỏi thế giới của Newton để đi tới thế giới cực biên của tốc độ và lực hấp dẫn vũ trụ, ở đó cơ học Newton không hoạt động được nữa. Ngay cả từ khi hoàn tất thuyết tương đối đặc biệt vào năm 1905, Einstein vẫn tiếp tục làm việc nhiều để áp dụng nguyên lý tương đối vào lý thuyết về lực hấp dẫn của Newton. Vào năm 1907, ông cố gắng tiếp cận thêm nữa nhưng không được, ông nhận ra rằng cần phải có thêm công cụ Toán mới.
Năm 1915, Einstein đến khoa Toán, ĐH Göttingen nói chuyện về những gì ông đang nghiên cứu trên các phương trình ten-xơ cho thuyết tương đối tổng quát, trong đó các phần tử là những mảng (arrays) các biến số. David Hilbert có mặt trong thành phần thính giả. Ông ghi chép rất cẩn thận những gì Einstein viết trên bảng. Rồi ông về phòng và làm một việc có lẽ ông không thích chút nào: từ công trình của Einstein ông cố tìm ra phương trình đúng của thuyết tương đối tổng quát. Khi ông nghĩ là ông đã tìm ra được nó rồi, ông liền gửi kết quả - phương trình ten-xơ 14 chiều (tức là 14 hàng biến số) - cho một tạp chí để công bố.
Trong cùng thời gian ấy, Einstein cũng đang tìm phương trình cho thuyết tương đối tổng quát của mình và ông đã có một cú đột phá: Ông đã tìm ra phương trình ten-xơ 10 chiều (tức là 10 hàng biến số) và gửi nó cho một tạp chí khác. Nhưng kết quả, phương trình của nhà Toán học sai, trong khi phương trình của nhà Vật lý đúng! Thì ra phương trình rườm rà 14 chiều của Hilbert thiếu tính chất quan trọng: tính bất biến.
Rõ ràng là Hilbert cần một ai đó hiểu được tính bất biến hơn ông để có thể hiểu Toán học trong thuyết tương đối tổng quát của Einstein. Khi ấy Hilbert và Klein bỗng nhớ lại người phụ nữ trẻ rất đặc biệt ngồi trong lớp của họ cách đây chừng mười năm, bây giờ người ấy đã công bố nhiều bài báo sâu sắc mà không mang tên một trường ĐH nào cả.
David Hilbert (1862 - 1943), người có ảnh hưởng rất lớn đến Emmy Noether.
Nhà nữ Toán học bị phản đối giúp hiểu Einstein
Trước năm 1915, Noether đã là một nhà Toán học nổi tiếng theo cách riêng của mình rồi. Các bài báo của bà được đọc và quan tâm trên khắp thế giới. Nội dung của chúng chú trọng tới Đại số.
Năm 1915, Felix Klein, trưởng Khoa Toán và Hilbert mời bà về ĐH Göttingen làm giảng viên nhưng lại gặp phải sự chống đối dữ dội từ phía các GS Ngữ văn và Lịch sử3 và cuối cùng trường chấp nhận cho bà làm phụ tá không lương cho GS David Hilbert. Bà vẫn còn phải nhận sự giúp đỡ tài chính của cha bà.
Chẳng bao lâu sau khi tới Göttingen, bà chứng tỏ khả năng của bà và không phụ lòng tin của hai nhà Toán học Felix Klein và Hilbert: Bà trình bày với Khoa Toán hai định lý (nay mang tên Định lý Noether). Chúng cho thấy sự liên kết cao độ giữa khái niệm đối xứng trong Toán học và định luật rất quan trọng về sự bảo toàn trong Vật lý. Một cách chi tiết hơn, hai định lý này cho thấy khi biểu thức Lagrange (biểu thức do Lagrange phát minh liên quan đến vị trí vật lý của những yếu tố) thụ hưởng một loại đối xứng nào đó – nghĩa là khi nó bất biến dưới tác dụng của nhóm Lie, chẳng hạn như nhóm các phép quay của một vòng tròn – thì hệ thống vật lý qui định bởi biểu thức Lagrange ấy sẽ gây ra định luật bảo toàn. Như thế, các định lý Noether giải thích sự bảo toàn năng lượng, bảo toàn momentum và bảo toàn điện tích bằng ngôn ngữ của lý thuyết nhóm.
Thế chiến Thứ nhất chấm dứt, xã hội Đức có nhiều thay đổi. Với những thành quả xuất sắc của mình, Emmy Noether được chính thức công nhận là giảng viên (lecturer) tại ĐH Göttingen năm 1919 (năm bà 37 tuổi), nhưng vẫn làm việc không lương. Ba năm sau, năm bà 40 tuổi, bà mới nhận được lương chính thức!
Đầu năm 1920, bà quay trở lại ngành Đại số. Trong 4 năm qua, bà đã để nhiều thời gian và công sức chuyên tâm vào các vấn đề Toán học do Vật lý lý thuyết đòi hỏi.
Mùa Đông năm 1928-1929, bà được mời làm GS thỉnh giảng tại ĐH Moscow. Mùa Hè năm 1930, bà về thỉnh giảng tại ĐH Frankfurt.
Tại Đại hội các nhà Toán học Thế giới 1928 tổ chức tại Bologna, bà được vinh dự chọn làm một trong những diễn giả chính. Bốn năm sau, năm 1932, Đại hội các nhà Toán học Thế giới tổ chức tại Zürich cũng chọn bà đọc bài diễn văn chính thức.
Thời gian cuối đời của Noether
Adolf Hitler lên nắm chính quyền vào tháng 1 năm 1933. Thanh niên Quốc Xã hoạt động ở khắp mọi nơi trên nước Đức, ngay cả trong trường học. Tại trường ĐH Göttingen, ngay những ngày tháng đầu, người ta đã thấy biểu ngữ cổ xúy tệ phân biệt chủng tộc quá khích (bài Do Thái) treo trong sân tường, chẳng hạn như: “Sinh viên Aryan muốn học Khoa học từ người Aryan, không phải từ người Do Thái.”
Tiếp theo, Bộ Giáo dục, Khoa học và Nghệ thuật ban hành một đạo luật theo đó tất cả các giáo viên, giảng viên và GS người Do Thái hoặc có họ hàng với người Do Thái phải rời khỏi nhiệm sở.
Trong vòng vài tháng sau đó, nhiều nhà Toán học và nhà Khoa học rời khỏi Göttingen, trong số đó có Richard Courant4, Edmund Landau5, Emmy Noether, Paul Bernays6, Max Born7, Hermann Weyl và nhiều người khác. Một số thì tìm đường qua Mỹ, Thụy Sĩ, hoặc các nước phương Tây khác, còn một số còn lưu lại Đức nhưng không còn công việc gì nữa.
Hào quang ở Göttingen kéo dài hơn một thế kỷ, nay đã tắt.
Tháng 4 năm 1933, Emmy Noether được trường ĐH Bryn Mawer, Pennsylvania, Mỹ, mời về, dưới sự bảo trợ của quỹ Rockefeller Foundation. Mùa Thu năm ấy, bà bắt đầu giảng dạy Toán cho sinh viên Cao học. Năm 1934, bà về Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton theo lời mời của nhà Toán học Oswald Veblen (1880 – 1960), nhà Hình học hàng đầu thế giới, đang phụ trách tại đó.
Mùa Hè năm 1934, bà trở về Đức thăm quê hương lần cuối. Tháng 4 năm 1935, bác sĩ chẩn đoán bà bị ung thư xương và qua đời sau khi phẫu thuật thất bại. Năm ấy bà 53 tuổi.
Ngày đưa tiễn bà chỉ có đồng nghiệp, những người cộng tác, và học trò của bà. Bà không lập gia đình, và ở Mỹ bà cũng không có bà con gần nào cả. Ngày đầu có Hermann Weyl, Richard Brauer và đông đảo GS của trường ĐH Bryn Mawer. Mấy ngày sau có Albert Einstein, van de Waerden, Pavel Alexandrov, và nhiều nhà Khoa học có tiếng khác từ nhiều nơi xa cũng kịp về chào bà lần cuối.
Để kết thúc bài viết về Emmy Noether, xin trích lời phát biểu của Albert Einstein năm 1935, trong một buổi lễ tưởng nhớ bà:
“Trong số những nhà Toán học nổi tiếng mà tôi biết hoặc tôi cùng làm việc thì Fräulein8 Noether là thiên tài có đầu óc sáng tạo nhất, cách xa so với bất cứ người phụ nữ có trình độ cao nào. Trong lĩnh vực Đại số, ngành hội tụ nhiều bộ óc xuất chúng trong nhiều thế kỷ, bà đã khám phá ra những phương pháp vô cùng quan trọng, giúp ích rất nhiều cho nhà Toán học thế hệ sau.”
Một số công trình của Noether
- Năm 1920, 1921 bà cùng Werner Schmeidler công bố một bài báo về Lý thuyết về Ideals trong đó bà định nghĩa ideals trái, ideals phải từ một vành và bài về Dây chuyền tăng, Dây chuyền giảm của ideals (Ascending and descending chain conditions). Từ đây, có tên vành Noether. Nhà Đại số học Irving Kaplansky gọi công trình này là một cuộc cách mạng trong Đại số trừu tượng.
- Năm 1924, bà hợp tác cùng Bartel Leendert van der Waerden. Sau này 1931, van Waerden viết cuốn Moderne Algebra dựa trên những ghi chép khi làm việc với bà, cuốn sách là khuôn vàng thước ngọc cho giới học và dạy Đại số trong nhiều chục năm sau.
- Năm 1926, bà công bố bài báo Chứng minh Tính Hữu hạn của các Bất biến trong các Nhóm Tuyến tính với Đặc số p (Proof of the Finiteness of the Invariants of Finite Linear Groups of Characteristic p). Từ bài báo này, sau này chúng ta có Bổ đề chuẩn hóa Noether (Noether Normalization Lemma). |
Chú thích:
(1) Hermann Weyl (1885 – 1955), nhà Toán học Mỹ gốc Đức, một trong những người sáng lập ra Viện Nghiên Cứu Cao Cấp Princeton (IAS).
(2) Vào thập niên 1960, ngành này được nhà Toán học xuất sắc và độc đáo Grothendieck làm mới và phát triển thêm lên.
(3) Khi ấy Đức đang chủ động trong Thế chiến thứ I. Một GS Lịch sử nói: “Nghĩ thế nào khi những người lính của chúng ta trở về lại giảng đường ngồi dưới chân một người đàn bà nghe bà ấy giảng bài?” Hilbert trả lời: “Chúng ta đang ở trong một trường ĐH, không phải trong một nhà tắm.” Kimberling, Clark (1981), Emmy Noether and Her Influence.
(4) Richard Courant (1888 - 1972), nhà Toán học Mỹ gốc Đức, đã từng giảng dạy tại Göttingen, cứu về Toán ứng dụng và mặt tối thiểu.
(5) Edmund Landau (1877 - 1938), nhà Toán học Đức, giảng dạy tại Göttingen, chuyên về Lý thuyết số và Giải tích phức.
(6) Paul Bernays (1888 – 1977), nhà Toán học Đức gốc Thụy sĩ, chuyên về Logic Toán.
(7) Max Born (1882 - 1970), nhà Toán học và vật lý lý thuyết Đức, giảng dạy tại Göttingen, chuyên về Cơ học lượng tử.
(8) Cô Noether, nói một cách kính trọng.